1.內容重磅，主題前所未有的跨界鉅著

2.八旬學者畢生心血，用大衆能懂的知識呈現數學之美

3.揭祕各時期藝術作品背後的數學奧妙

4.一部跨越中西的全球人類文化史，一場美到窒息的藝術盛宴

5.兩位中科院數學專家 作者弟子、藝術史專家，聯合審校

這本書會給你帶來：

6.拓展認知邊界，領悟融會貫通之美

7.提升審美力，鑑賞眼光更深刻

8.發現欣賞藝術的跨界新視角

9.數字時代擁有前瞻未來的眼光

10.成爲書架上獨一無二的品味之書

這是一部由數學與藝術融合而成的古今文化史。

藝術是感性的嗎？靈感中卻閃耀着科學之光；

科學是理性的嗎？秩序中卻創造出震撼的美；

萬事萬物，淺看背道而馳，深研融會貫通。

數學與藝術的關係，比我們想象的要緊密得多。

數學不僅是一門精確的科學，也是一種美的表達。數學家們通過公式、定理、證明，創造了許多優美的結構和模式，展現了數學的魅力和美感；藝術家們也受到數學原理的啓發，運用幾何、比例、透視、對稱，創作了無數精彩作品，體現了藝術的規律和創新。古希臘建築的比例、中國八卦的二進制、音樂上的五度相生律、文藝復興時的透視法、現代派畫家運用的拓撲學……無不是數藝交融關係的體現。

愛因斯坦曾說 “真正的科學和真正的藝術需要同樣的思維過程”。數學與藝術之所以密不可分，因爲它們追求的是同一個目標：理解眼前能看到的這個世界和只能靠思維來認識的那些抽象事物。

只懂得數學或只懂得藝術，對世界的理解都是片面的。所以，我們需要《數學與藝術》這樣的著作來豐富我們的認知。

琳恩·蓋姆韋爾 （Lynn Gamwell）

生於1943年，現年80歲，以其關於藝術史、數學史、科學史系的研究而聞名。

她擁有伊利諾伊大學芝加哥分校的學士學位、克萊蒙特研究生院的藝術碩士學位和加州大學洛杉磯分校的博士學位。現任教於紐約視覺藝術學院，併爲倫敦弗洛伊德博物館、紐約科學院等機構策劃展覽。

作者出版過多部融匯科學與藝術的相關著作，策劃全球知名展覽，而這本書可以說是作者專研方向集大成作。

序言 viiii

前言 xi

第一章 算術與幾何 1

第二章 比例 73

第三章 無限 109

第四章 形式主義 151

第五章 邏輯主義 197

第六章 直覺主義 225

第七章 對稱 249

第八章 “一戰”後的烏托邦願景 277

第九章 數學的不完備性 321

第十章 算法 355

第十一章 “二戰”後的幾何抽象藝術 385

第十二章 在數學與藝術中的計算機 455

第十三章 後現代的柏拉圖主義 499

註釋　512

版權歸屬　543

致謝　545

前言

不要輕視符號！……如果沒有符號，我們幾乎無法進行概念式思考。 所以，把同樣的符號應用於不同但類似的事物，我們實際上表示的便不再 是個體，而是共性：概念。

——戈特洛布·弗雷格，《概念表示法的科學理由》，1882年

非專業讀者在閱讀數學書籍時常常感到失落，因爲其中的奧祕往往都是以外行難以理解的專業語言寫成。所以，我寫本書的目的，就是要以非數學語言，結合清晰簡明的符號和圖形，來描述推動數學前進的思想（如數、無限、幾何和模式）；探討數學符號、圖表、規律——本質上是抽象概念的形象可視化——在人類歷史進程中如何啓發了藝術家，如何因其抽象性反而成了精確思維的通用語言，讓世界各地的建築師利用它們設計了高大宏偉的城市。

當石器時代的早期人類在岩石上鑿出圖案時，數學實踐便開始了，並隨着人類在天地間對數與形的探索而得以持續發展（圖0-1）。從古至今，貫穿這一歷史的一條線索就是數學哲學與數學實踐的差別。數學哲學是柏拉圖這類人物的研究領域，他們會問：某種知識是什麼？這屬於認識論問題。也可能問：什麼是數？數以何種意義存在？這屬於形而上學問題。數學實踐則是歐幾里得這類“實際研究型數學家”的研究領域，他們會問：三角形的內角和等於 180°嗎？這屬於幾何問題。也可能問：質數是否有規律？這屬於算術問題。偶爾也有同時涉足兩大領域的人物，如啓蒙運動時期的學者戈特弗裏德·萊布尼茨，就曾以柏拉圖的傳統風格撰寫過一部有關形而上學的書籍《單子論》（1714），還發明瞭二進制記數法。

古代數學依賴於簡單的抽象和概括，很容易融入人們的思維模式之中。但在過去的幾個世紀中，隨着數學實踐日趨專業化，公衆越來越不容易理解數學的細節了；因此，我在這部書中所描述的數學思想對文化的衝擊，大多屬於哲學性質。然而，實際的數學研究會通過間接的形式影響我們。例如在萊布尼茨的時代，二進制記數法是玄奧的專業概念，只有不多的學者知曉，但到了今天，任何受過教育的人都對二進制記數法在計算機中的應用耳熟能詳。當數學實踐因應用而廣爲人知時，數學概念便會進入藝術家的工作室，給他們帶來啓示。

0-1.敦煌星圖（細部），公元 649—684年。紙上水墨畫，24.4釐米×20釐米。© 大 英 圖 書 館 理 事 會，Or.8210/S.3326R.2.(8)。這份天象圖記錄了北極附近的可見天空。大熊座位於圖下方，其中最亮的七顆星組成了北斗七星。這幅星圖出自中國唐代的一本星圖冊，是世界上已知最早的星圖冊，共記錄了1339顆恆星，涵蓋了北半球能夠看到的全部天空。

第二條貫穿數學史的線索，是對自然界的理性解釋（認爲它按照決定性的因果法則運轉）同對此類模型及相關數學的反對（認爲它們去人性化）之間的矛盾。在古代，人們可以在希臘理性主義哲學家德謨克利特與柏拉圖之間的爭論中感覺到這種矛盾：前者認爲無生命的原子組成了機械的宇宙，而後者則認爲宇宙有生命、有意志。到了近代，啓蒙運動對理性的信賴，推動了微積分的發明與伊曼努爾·康德的德國唯心主義的發展，但也激起了康德哲學繼承人的反抗，如第二代唯心主義哲學家弗里德里希·謝林和黑格爾，因爲他們更加信任感受與直覺。

在本書第一章中，我將對數學與藝術之間的關係進行綜述，會從人類史前一直講到理性、客觀性、可普遍化的知識達到最高峯的啓蒙時期。我將集中關注以柏拉圖爲起源的西方傳統：在他看來，數字與球形這類抽象物體是獨立於人類思維的存在——這個柏拉圖主義觀點在數學與科學的哲學與實踐中產生過重要影響。我還會介紹古代與中世紀的柏拉圖主義在西方的起源，包括它同古典有神論及基督教神學的宗教聯繫，以及在人類不斷追求知識的背景下，柏拉圖主義在現代世俗文化中演變出的變種。查爾斯·達爾文於1859年出版的《物種起源》，加速了西方有組織宗教的沒落，以及“反形而上”學術氛圍的出現。儘管數學家因爲柏拉圖主義長期以來與宗教教義的聯繫而開始對其敬而遠之，但大多數從事研究工作的數學家依舊承認的一點是，現代數學起源自柏拉圖的哲學思想。

柏拉圖宣稱存在兩個世界。第一個是由蘋果、柑橘這類真實物體組成的自然世界，存在於時間與空間內，人們可以通過看、聽、觸碰這些感性知覺認識它。第二個世界則是“理型（

Forms）”的世界，其中包括抽象物體，如數字和球形。這個世界獨立於時間與空間而存在，人們通過認知、直覺或者神祕領悟瞭解這個世界。蘋果與柑橘存在於“外在世界”當中，獨立於人的思維存在，數字與球形也一樣，類似地存在於一個“數學的外在世界”當中。因爲數字與三角形是完美而永恆的，所以人類可以通過客觀必然性和主觀確定性來認識這些抽象（數學）物體。非永恆且不完美的植物和動物、大地與天空，是永恆的數字與完美的幾何的具體化，給自然帶來了基本的統一性。但因爲自然物體只是抽象物體的不完美體現，所以人類關於自然的（科學）知識便帶有與生俱來的片面性和易變性。

柏拉圖進一步認爲，這兩個世界之外還有一個超越凡俗的神聖理性統治着一切，即“善”——一位神祕的匠神，正是他把柏拉圖的理型加之於原始的混亂物質上，創造了大地與天空。柏拉圖認爲，善是宇宙最高目的的來源。反對柏拉圖觀點的是原子論者德謨克利特和門徒盧克萊修，則描述了一個運動的、物質的確定性宇宙。

盧克萊修在公元前1世紀發表了《物性論》，首先提出了原子的隨機偏轉一說，爲自由意志（沒有被征服、不受囚禁的感覺）開闢了存在的空間。但柏拉圖認爲，原子確實存在偶爾的偏轉，可運動中的無生命原子不足以解釋外在世界，因此他認爲，宇宙由有感知的粒子組成，也就是所謂的單子（monads，即希臘文的“一”，其中沉浸了世界靈魂與神聖理性）。我將會重點講述柏拉圖的門徒歐幾里得關於證明的公理化方法的發展（這一方法總結在他大約公元前300年的著作《幾何原本》中），以及柏拉圖爲什麼認爲藝術是對自然的模仿。我還將追溯羅馬帝國崩潰之後有關數學與藝術的西方經典觀點發生了哪些變化，包括它們在公元4世紀和猶太-基督教神學的融合過程，以及中世紀伊斯蘭教學者如何在阿拉伯譯本中保存了希臘的文字資料。

我還會回顧古代亞洲數學的發展，尤其是中國的《九章算術》。這部作品成書於公元前100年之前，由佚名作者編纂整理，共包含246個數學問題，是兩千多年間東方數學思想的基礎教育課本，其地位與歐幾里得的《幾何原本》在西方的地位相當。人們通常認爲，希臘數學以抽象推理爲主，而中國數學就事論事；但事實並非如此，我總結了最近一些學者的意見，得出的結論是：中國數學雖然沒有抽象，但有歸納，只不過中國數學家沒有發展出普遍的證明法而已。

與英國學者李約瑟及之後的漢學家一樣，我也認爲東方數學專注於特例（抽象的範例），西方數學專注於抽象、普遍的公理化方法，而兩者之間的差別就源於兩個地區的古代宇宙觀。無論存在的基礎是被歸結爲某種無法檢測的神祕力量，還是世界靈魂，抑或單子、原子，人們最終對現實的構想都同思考數學的方式有關。在中式思維中，自然世界由各個部分和諧、平衡地按照自然之“道”自行組合在一起，但道是無法被人理解的。道家從來都不認爲存在某種能被人探索的數學世界和能被人發現的自然定律。也正因如此，在上古時代與封建王朝時代，中國數學與科學一直都未能超越基本發展階段。而西方的創世神話則設想了一個位格神（巴比倫人的是馬杜克，希伯來人的是亞伯拉罕的神，柏拉圖的是匠神），正是他向混亂中注入了秩序，宣佈了自然的規律。千百年來，大批西方人士一直在尋找這樣的神創秩序，其中一些人則由此得到了有關自然規律的知識，如古代巴比倫天文學家發現了黃道，啓蒙時代的約翰尼斯·開普勒發現了行星運動的幾何模式（圖0-2），艾薩克·牛頓發現了萬有引力定律。

介紹完歷史背景，我會把目光轉向近代和當代。在第二章中，我將批駁一個廣泛流傳的錯誤觀點：歐幾里得的“黃金分割”（約等於 1.618）是優美比例的關鍵，藝術史上的偉大瑰寶（如金字塔、帕特農神廟、達·芬奇的《蒙娜麗莎》）中都應用了它。但後來，達爾文給出了確鑿證據，證明人體並沒有固定的形式，而是隨着時間推移在不斷進化。所以，許多以人體爲基礎的比例體系，在這之後都被廢棄不用了。而當人們發現人的身體與靈魂方面有越來越多的特點，可以通過生物學、生理學和心理學的強大說明能力來解釋之後，神學便只能讓位於科學。這在人類信仰方面造成了顛覆性的變革，讓人們不再相信那位曾在四千年間推動了西方數學發展的造物主的存在。這種翻天覆地的重新定向，促使許多人開始構想一種能適應世俗化時代的信條。

0-2. 德國天文學家約翰尼斯·開普勒所著《世界的和諧》（1619）中的太陽系幾何結構示意圖，出現在原書186—187頁。木刻版畫。音樂部，表演藝術分館，紐約公共圖書館，阿斯特、雷諾克斯與蒂爾登基金會。1596年，開普勒提出假設，認爲行星沿一個環繞着看不見的立方體、正四面體和其他規則立體形的圓形軌道運行。但發現實際觀察並不符合這一假定後，他又在天空中尋找其他幾何形式，最終於1609年確定了行星的軌道是橢圓形。

除部分內容外，本書第三至第十章將以現代數學和抽象藝術出現的德語文化圈爲中心展開。在德國、奧地利、俄羅斯、東歐、瑞士、荷蘭和斯堪的納維亞地區，許多學者與藝術家都會說德語，都把德國唯心主義視爲共同的思想傳承，所以在這層意義上，他們都具有“德國特色”。

在第三章中，我將介紹啓蒙主義理性（康德）與浪漫主義想象（謝林、黑格爾）之間的論戰。那是一場理性與直覺的鬥爭，具有鮮明的德國式特色：勒內·笛卡爾區分了精神與物質，而啓蒙運動的傑出哲學家康德則宣佈人只能瞭解精神（他本人的想法），不能瞭解物質（比如外在世界中的月球）之後，鬥爭陣營便劃分出來了。德國浪漫主義者、第二代德國唯心主義者、自然哲學家謝林和黑格爾對康德的宣言發起反擊，批駁康德的唯我論，拒絕接受啓蒙主義的精神—物質二元論，並復興了古老的柏拉圖主義觀點，即任何事物都是由單子這種有感覺的物質組成的。這些自然哲學家描述了單子的層級結構，認爲其頂端是非人類的超級智慧，即所謂的“絕對精神”，而這種絕對精神就相當於組成宇宙的有感粒子的邏輯結構。

另一個19世紀的德國哲學派別是亞瑟·叔本華、索倫·克爾凱郭爾、弗里德里希·尼采等人提倡的生命哲學，主張哲學的焦點不應該是枯燥的抽象理論，而應該是生命的主觀價值與目的。其他19世紀的反叛者背棄了確定性演算，發展出概率理論，認爲這種理論能夠用來描述人生中那些隨機的不確定事件。爲了迴應理性科學的興起，格奧爾格·康托爾創立了集合論和有關無限的哲學，而其最終成果便是神聖的“絕對無限”。20世紀第二個十年，俄羅斯也出現了類似的浪漫主義起義，反對毫無靈魂的微積分，如數學家帕維爾·阿列克謝耶維奇·涅克拉索夫便想利用概率論來“證明”人類具有自由意志；而東正教僧侶、數學家帕維爾·弗洛倫斯基則在莫斯科大力普及康托爾的超限數理論，啓發了至上主義流派的詩人、畫家，讓他們用符號來表達無限的意義。

康托爾創造的無窮和的非歐算術，德國與俄羅斯數學家發明的非歐幾何，在19世紀末引發了所謂的數學基礎危機。我將在接下來的三章中探討人們在此後三十年間對這個決定性轉折點做出的反應，即形式主義、邏輯主義、直覺主義。在第四章中，我把戴維·希爾伯特的形式主義數學觀念描述爲一種公理系統，即由抽象、未定義、可替換符號構成的自洽、獨立的體系。在詳細說明了這一概念如何進入俄羅斯文學界之後，我將介紹俄羅斯構成主義藝術家如何接受了形式主義美學，用未定義的色彩與形式在自主、想象的領域創作油畫、雕塑。德國邏輯學家戈特洛布·弗雷格和他的後繼人、英國數學家伯特蘭·羅素，以邏輯主義（認爲數學建立在邏輯之上）爲前提，發展出了現代符號邏輯學（第五章）。邏輯主義逐步演變爲英國分析哲學，雕塑家亨利·莫爾、芭芭拉·赫普沃思、作家 T. S. 艾略特、詹姆斯·喬伊斯的作品都受到了該哲學影響。希爾伯特和羅素都抱持着現代版的柏拉圖主義觀點（把柏拉圖的理型放在康托爾的集合論中來解釋），但重要的直覺主義數學家、荷蘭人布勞威爾卻聲稱，抽象物體（如圓形、三角形等）都只存在於人的頭腦中（第六章）。進一步發展了拓撲學的布勞威爾，是 19世紀末橫掃荷蘭的德國浪漫主義思潮中的一分子。在這一思潮的鼓勵下，數學家、藝術家紛紛離開城市，去鄉村生活，接觸自然，並開始相信自己的直覺。業餘數學家 M. H. J. 舍恩馬克爾斯認識布勞威爾，也經常去藝術家公社，正是他把這些直覺主義理念帶給荷蘭風格派畫家特奧·凡·杜斯伯格和皮特·蒙德里安。

20世紀初的數學家在挖掘各個學術領域的基礎時，以愛因斯坦爲首的科學家則在探索自然界的對稱，如質量與能量的對稱——二者可以互相轉化（E=mc2 ）。科學家用數學中的羣論來描述這樣的對稱（第七章）。瑞士蘇黎世的兩位數學家赫爾曼·外爾、安德里亞斯·施派澤撰寫了有關羣論的科普作品，結果啓發了以馬克斯·比爾爲首的瑞士具體藝術家，令他們創作出了具有驚人對稱性的藝術作品。

爲數學尋找基礎的工作促使數學家創建了一批原理（公理），分別於 1889 年、1899年、1908年、1910—1913年爲算數、幾何學、集合論、邏輯學奠定了基礎。希爾伯特根據這些成果，猜想現有基礎之下或許還有更深的一層，也就是一套適用於所有數學分支的根本公理，所以激勵數學家同行去進一步探索（第八章）。德國在“一戰”中戰敗後，儘管出現了浪漫主義對精確科學的強烈抵制，但數學家們還是承擔起了這項任務。

在第八章中，我還將介紹量子物理在20世紀20年代的誕生，並按照科學史學家馬克斯·雅默、保羅·福曼的思路，探討浪漫主義對“哥本哈根解釋”的影響。無論那時還是現在，誰也沒有對量子力學的實際應用（爲我們提供了今天這個由計算機與智能手機組成的科技世界）有所爭執，但尼爾斯·玻爾及門徒維爾納·海森堡等學科奠基人對它做出的哲學解釋，卻至今尚存爭議。當時，浪漫主義對理性主義的反抗十分流行，這些物理學家受此影響，認爲他們的數據有着內在的蓋然性，證明了在真實世界最基礎的層面上確實是概率爲王，用海森堡的話來說，就是“量子力學證明了因果律的最終失敗”（海森堡，“不確定性原理”，1927）。

接着，我會介紹之後發生的激烈爭論：一方以玻爾、海森堡等德語文化圈的物理學家爲代表，聲稱自然從本質講不可預測，現實只存在於觀測者的意識中；另一方則是堅守決定論的反對派，包括法國物理學家路易·德布羅意、深感惱火的愛因斯坦在內，都認爲存在一個獨立於人類觀察的外在世界，或者用愛因斯坦的話來講，就是“即使我不看月亮，月亮也依然存在”。在第八章的最後，我會介紹一下 20世紀20年代德國藝術家與包豪斯設計學派在創作中表現出來的以理性和直覺爲基礎的烏托邦願景。

那些受到希爾伯特激勵的數學家一直都堅信，確實存在一套適用於所有數學分支的根本性公理正等着被人發現。但1931年，維也納青年邏輯學家庫爾特·哥德爾證明了這樣一套公理根本不可能存在，因爲在人造符號語言中存在着固有的侷限性（第九章）。1921年，既支持直覺主義者布勞威爾，也擁護生命哲學家的維也納人路德維希·維特根斯坦在著作《邏輯哲學論》中，也得出一樣的結論，揭示了自然的口頭語言存在其固有的侷限性。荷蘭版畫家莫里茨·科內利斯·埃舍爾、比利時畫家勒內·馬格里特雖然與這些研究成果同處一個時代，而且作品中也同哥德爾、維特根斯坦的證明一樣包含着悖論，但如此便認爲他們受到了哥氏和維氏的啓發，我覺得缺乏歷史證據。事實上，這些藝術家、數學家共同的思想源頭是19世紀的哲學家，比如譴責體系建立者、沉醉於謎團的尼采。當然，哥德爾、維特根斯坦的證明在20世紀中期得到普及之後，他們的著作確實啓發了很多藝術家，如賈斯培·瓊斯、谷文達。

在第十章中，我首先會介紹哥德爾1931年的定理之所以重要，不僅是因爲其令人吃驚的結果，還在於他爲得出這一結果而發明的新方法，即通過計算進行的證明（計算機的研發正有賴於此）。哥德爾並沒有進行傳統的演繹證明，而是將數學陳述編碼後來計算他的定理。在這個新方法的啓發下，英國青年數學家艾倫·圖靈通過思維實驗，探索了能進行計算的機器（“論可計算數”，1936）。三年之後，英國對德國宣戰，圖靈以密碼學家的身份加入了英國政府設在布萊切利園的祕密機構，協助建造真正的機械計算機，來破解德軍的恩尼格瑪密碼機。“二戰”結束後，圖靈等人在這類簡單機器的基礎上繼續開發，最終催生了計算機行業。

“二戰”期間，德語文化圈受到了毀滅性打擊，進而導致所有遭受慘痛損失的人在信念上對理性、客觀性、可普適知識這些啓蒙運動的理念產生了動搖。我將在第十一章中介紹相關情況。不過，在那些沒有遭到毀滅性打擊、德國唯心主義傳統也不根深蒂固的國家（如法國、英國、美洲各國），1945 年之後的藝術家仍然對啓蒙思想抱有信心，故而創造出了整齊有序、手法超然、表現了人類理性力量的幾何抽象藝術。這些國家戰後成長起來的一代科學家成竹在胸，堅信自己能通過對次原子粒子的微觀世界和宇宙的宏觀世界更加深入的探索，最終找到穩定且可預測的規律（圖0-3、0-4）。

在第十二章中，我會講述“二戰”後計算機在英美的迅猛發展，以及數學家和藝術家如何將電腦應用到各自的工作領域：數學中的運用包括分形幾何（1975）與第一個計算機輔助證明（1976）；藝術中的運用則包括數字攝影以及電影中用計算機動畫製作的“特效”。

0-3.貓眼星雲（NGC 6543）的光暈，攝於 2008 年。照片來自史蒂芬·賓尼維斯、約瑟夫·珀普瑟爾，希臘克里特島斯金納卡斯山卡佩拉天文臺。貓眼星雲是一顆類太陽恆星，但不知爲何失去了外包層，結果便形成了這種“光暈”。這簇星雲位於 3000 光年以外的天龍座。

相較之下，柏林與哥廷根的數學與科學中心在1945年之後則亂成一團，曾在戰時逃離德國的猶太人西奧多·阿多諾、馬克斯·霍克海默回到祖國後，撰寫了《啓蒙辯證法》（1947），首次深入分析了人們如何對啓蒙思想失去信心（這一狀況後來被稱爲後現代主義，第十三章）。在本書的最後，我會談一談後現代主義對“真理”“確定性”等術語的批判爲何基本上（不是完全）沒有影響到數學——原因就是這些概念本來便在數學史中根深蒂固、難以動搖。確實，正是因爲它的確定性，數學纔在現代文化中佔據了獨特地位，使得它與自然世界的相互影響成了一切科學和技術的基礎。

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我在本書中介紹的數學與藝術的互動中，幾乎都是藝術家從某種數學研究中得到了靈感，而非數學家受到了某件藝術作品的啓發（不包括那些努力追求優美與雅緻這種美學特質的數學家，因爲他們並不是受到了具體某件作品的影響）。不過，我還是發現了一些特例，比如 19 世紀的法國工程師讓 - 維克托·彭賽列，就曾以文藝復興時期的建築師菲利波·布魯內列斯基的直線透視法爲基礎，創立了射影幾何學。

介紹相關影響時，我儘量避開了學術語境的模糊表達，竭力指明瞭數學家的研究與藝術家的創作所具有的特殊聯繫，如某份歷史檔案或者某種數學知識在藝術家中的普及。有時在情況已知且合適時，我會運用心理學方法來介紹某位數學家、藝術家的性格或者思想背景；在其他情況下，則會把他們視作特定文化環境的產物，因此更傾向於使用社會學手段。

貓眼星雲（NGC 6543）的中心，2004年。美國國家航空航天局、歐洲航天局、哈勃歐洲空間局信息中心和哈勃遺產團隊（STScI/AURA）。這一團閃光的雲狀物位於貓眼星雲的中心，由一系列時間相隔1500年的脈衝形成。在此期間，這顆恆星至少噴射了十一道氣體光環。最外層可見光環的直徑爲1.2光年。

這是一本了不起的著作。它觸及了自古以來哲學家、科學家、數學家和藝術家提出的衆多基本問題。但是，它能引導讀者順利地瀏覽所有這些相互競爭的觀點和理論，而不會顯得沉悶或迷失在抽象中。

——阿德馬爾·布爾瑟爾，歐洲數學學會

全面、有價值、詳盡。《數學與藝術》以一種易於理解的風格寫就 ：既能吸引具有數學知識的讀者，又不會讓具有藝術背景的讀者不知所措。我一定會把它放在手邊。

——威廉·萊瑟姆，《新科學家》

琳恩·蓋姆韋爾具有非凡的才智，這也是一本非凡的書。她的文字將哲學、藝術、科學和數學在歷史背景中交織在一起。插圖令人驚歎，頁邊的引文讓人翻過每一頁時都充滿樂趣。

——埃裏克·海勒，哈佛大學

《數學與藝術》描述了人類對模式的探索以及藝術家對這些數字和形式的表達。這本書將豐富讀者對數學史和藝術史的理解，並更加懂得它們在當今高科技文化和當代藝術中的深刻聯繫。

——宮島達男，日本當代藝術家

我花了幾十年的時間將數學轉化爲視覺形式，以便在我的藝術中對它有新的理解。我推薦這本經過深入研究和精心編寫的書，它讓人沉浸在數學的複雜性、豐富的歷史、精確性以及奇蹟中。

——艾格尼絲·丹尼斯，概念藝術家

這本書在描述藝術如何受到數學啓發方面獨樹一幟。憑藉其豐富的插圖，它具有令人驚歎的視覺衝擊力。從古代作品到現代抽象表現主義，這本書中豐富多彩的藝術品都令人着迷。這對任何對數學或藝術感興趣的人來說都是一個重要的參考。

——愛德華·貝爾布魯諾，普林斯頓大學

第一章 算術與幾何 【節選，p47—57】

在說到形式美的時候，我指的並不是動物或者繪畫的那種美……而是直線與圓的那種美，是用規、矩和尺子畫出的直線與圓所形成的平面形與立體形的那種美；我確信，這些東西不但與其他事物一樣具有相對的美，而且具有永恆、絕對的美。

——柏拉圖，《斐萊布篇》，公元前 360—前 347年

西方古典文化的重生

公元1世紀左右，希臘淪爲羅馬人的殖民地，人們對理性力量的信仰受到了嚴重動搖；而羅馬淪喪於蠻族之手後，人們則乾脆對理性徹底失去了信心。公元500年左右，東正教僧侶、神祕主義者僞狄奧尼修斯大法官（之所以這樣稱呼他，是因爲他著述時假借了狄奧尼修斯的名字）構建了一個極端版的不可言喻性，說“太一”太過超驗，太過不可理解，只能用否定法來間接認識。這種所謂的否定神學主要闡述了“太一”不是什麼。“太一”的追求者要踏上一條名爲“否定之路”（via negativa）的內心旅程，驅除所有的先入之見，因爲只有在此之後，神聖真理纔會顯身（圖 1-52）。

1-52. 羅 曼· 凡 羅 斯 科（ 美 國 人，1929— ），《不知之雲》，1998年。筆式繪圖儀繪，29.2釐米×36.8釐米。圖片由藝術家提供。

美國當代藝術家羅曼·凡羅斯科以這幅計算機繪製的作品，向14世紀英格蘭的一位無名僧侶致敬。這名僧侶著有《不知之雲》一書，內容主要是給僞狄奧尼修斯神祕傳統中的冥想提供靈性指導。按書中的說法，純粹的存在沒有具體形象或者實際形態，所以最終無法被我們理解。凡羅斯科曾就讀於賓夕法尼亞州聖文森特本篤會神學院，1955 年取得哲學學士學位後，學習了計算機編程與美術方面的課程，但仍然保持着同神學院的聯繫和對哲學的興趣。1995年，凡羅斯科與他人共同建立了“算術家”一個國際性的藝術家團體。他們的藝術作品就像中世紀聖歌和計算機繪圖一樣，都是通過不斷重複簡單的規則（算法）創作而成。

同奧古斯丁一樣，僞狄奧尼修斯也進行了數學類比，把無限的神（太一）與數字 1作了比較。按照他的神學視角，僞狄奧尼修斯把 1設想成了一個生成一切數字的單子：“因爲即使在一個單子中，每個數字都已事先以單元的形式存在其中，每個單子都逐個包含了所有數字。”僞狄奧尼修斯發現，觀察、傾聽、觸碰世間的美好事物能有助於他把精神提升至不可見的非物質領域，並稱之爲“神祕解釋法”（anagogicus mos）：“要想把精神提高到屬天等次的那種非物質描述和沉思，我們就只能使用與之相稱的物質引導，將可見的美視爲不可見之美的映像。”圖像和幾何圖形這類藉助光線便能被眼睛看到的物體，尤其能讓人有身臨其境之感，因爲它們映射了神聖之光：“一切美好、完美的禮物都來自上天，從光之父那裏降臨人間。”

12 世紀初，隨着古典文化在西方的普遍復甦，人們對理性的信心也逐漸恢復了。古代經典著作雖然在西方一度失傳，但阿拉伯人此前曾翻譯過歐幾里得的《幾何原本》和托勒密的《天文學大成》，並將這些經典在巴格達的智慧宮中保存了下來（圖 1-53），所以當第一批由阿拉伯語轉譯爲拉丁語的經典著作重新出現後，激起了人們的極大興趣。在巴黎附近的沙特爾，人們修建了一座新的主教座堂。1142年，沙特爾的蒂埃裏出任了該教堂下轄學院的校長。在他的領導下，沙特爾成了一座著名的人文科學研究與古典文化復興的中心。蒂埃裏建議，要研究宗教典籍，就要先全面閱讀古代經典，“人要獲得造物主的知識，其實還擁有四種推理方法：算術、音樂、幾何、天文學”（圖 1-54、1-55）。蒂埃裏的著作中有很多內容都是從神學角度在探討數學，而且他和僞狄奧尼修斯一樣，也認爲神等同於“太一”（數字1）：“一生各數，數有無窮，故一之力是無窮的，一是全能的。”

1-53.《幾何原本》手抄本的第一頁與部分細節，約 1309—1316 年，底本爲12世紀的拉丁語譯本，由巴斯的阿德拉爾德根據阿拉伯語譯本轉譯，法國巴黎。牛皮紙，蛋彩畫。©大英圖書館理事會。

這份14世紀的抄本，是現存最古老的《幾何原本》拉丁語譯本，由英格蘭僧侶阿德拉爾德從阿拉伯語譯本轉譯，大約在1120年翻譯完成。頁眉處的文字意思是“歐幾里得幾何著作第一部分”，右側邊欄繪有幾何圖形。正文第一行的內容是“點不可再分割”；幾何則化身爲一位婦人，在彩色“P”中（詳見上圖）第一次出場亮相。她正在用歐幾里得的工具——三角板（直尺）和兩腳規（圓規的一種）——給一羣僧侶上課。兩個認真聽講的學生手指着圖形，婦人則在用圓規測量。但爲阿德拉爾德的譯本畫裝飾圖的僧侶卻不怎麼專心，把注意力從幾何轉向了四邊的裝飾，畫了一些鳥雀，還有一隻兔子，頁面下方有兩個怪物一邊用尾巴平衡住身體，一邊決鬥；頁面上方則是一個腳爲蹄狀的怪物射中了一隻灰狐狸，而他的獵狗正狂追不捨。

在中世紀的西方，建築師都喜歡把他們設計的羅馬式教堂的天花板解讀爲天穹的象徵，比如拜占庭的聖索菲亞大教堂（532—537）便是從俗世的四方地基向上逐漸變成了神聖的圓形穹頂。但由於羅馬式建築內部暗如洞穴，龐大的石質穹頂要由厚牆支撐，所以在12世紀早期，這種風格的教堂在法國逐步被哥特式教堂取代了。哥特式教堂的中殿通透，輕質的穹頂搭在肋拱和飛拱上，不再需要用牆來支撐，所以人們便在牆上打出窗戶，裝上彩色玻璃，讓陽光來照亮內部。這種重大轉變肇始於 12世紀三四十年代的聖但尼教堂重建工程（位於法國北部，在巴黎附近），其主持者爲聖但尼修道院的院長敘熱。

對頁

1-56. 聖但尼教堂的迴廊，建於 1140—1144年。

迴廊的修建由修道院院長敘熱主持，完成於 12 世紀；唱詩席的上部（圖左上，包括鑲有玻璃的拱廊、高窗、禮拜堂的拱頂），則建於13世紀之後。

左上

1-57. 聖保羅像，聖但尼教堂迴廊，12世紀三四十年代。彩色玻璃。

《舊約》中的兩位先知扛着幾袋糧食，送給了耶穌的追隨者使徒保羅（右側推磨者）。保羅把他們帶來的穀粒碾成了更易消化的麪粉，一如他在衆多書信中重新解釋十誡（被收入《新約》中），以便讓《舊約》中的摩西律法更容易被基督徒接受那般。

左下

1-58. 聖但尼教堂的實際建築平面圖，12世紀。

12 世紀初，聖但尼教堂有着厚重的磚牆，中殿上方覆蓋着羅馬風格的桶形拱頂。1135—1140年，修道院院長敘熱開始重建西側，修築了兩間側廳，形成了一個新的入口和門廳。然後他又將目光轉向東側，開始從一層的迴廊修建新的唱詩席，左爲平面圖。建於1140—1144年的肋拱、大塊的彩色玻璃、融爲一體的迴廊（圖 1-56），爲哥特式建築風格的流行拉開了序幕。

湊巧的是，聖但尼修道院名義上的守護聖徒正是僞狄奧尼修斯，而他的一部希臘文原始手稿就存放在修道院的圖書館，還被人譯成了拉丁文。於是，敘熱纔有機會讀到了僞狄奧尼修斯的“否定之路”神學，並從中受到啓發，使用可見的實物（建築物中的石頭和玻璃），來超越至更高層次的不可見神聖實相。敘熱循着僞狄奧尼修斯的神祕解釋法，宣稱只要對着唱詩席上方的彩色玻璃窗冥想，虔誠的信徒便能從（不完美的）物質世界被帶到（完美的）非物質世界中去：“因此，無論在高處還是低處，我們都邀請來自不同地區的大師，用許多雙神奇的手繪製了各種絕美的新窗戶……其中一扇描繪的是推磨盤的使徒保羅和扛着糧食來磨坊的先知，激勵我們要從物質走向非物質。”（圖1-57）敘熱發現，望着石柱和拱門沉思，也能起到類似的轉變作用。

右

1-59.格哈德·裏希特（德國人，1932—），《永恆之窗》，2007 年。彩色玻璃，科隆大教堂（始建於1248），南側耳堂。

對頁

1-60.托馬斯·施特魯特（德國人，1954—），《科隆 大 教 堂 》，2007 年。 顯 色 印 刷， 第 十 版，200.34 釐米×61.29 釐米。圖片由藝術家和紐約瑪麗安·古德曼畫廊提供。©托馬斯·施特魯特。

第二次世界大戰期間，科隆市遭到了猛烈轟炸，好在該城建於中世紀的大教堂倖免於難，僅有南側耳堂的彩色玻璃窗被震碎。2007 年，科隆大主教管區爲了換下戰後安裝的普通玻璃，委託德國藝術家格哈德·裏希特設計了新的窗戶。裏希特採用了超越時間而存在的形狀——方形與矩形——來裝飾彩色玻璃，故稱之爲“永恆之窗”。

在聖但尼教堂，唱詩席被放射狀的小禮拜堂所環繞，這種設計的靈感或許來自數學與神學之間的另一種古老聯繫：天體只會沿着完美的均輪與本輪運行，也就是托勒密在《天文學大成》中記載的行星軌道。74沙特爾大教堂在1194年被大火燒燬後，負責重建工程的建築師便借用了聖但尼教堂的哥特式風格來建造北塔。而到13世紀，亞眠大教堂和科隆大教堂的建成，則標誌着哥特式建築藝術達到了頂峯（圖1-59、1-60）。

在文藝復興的高潮中，基督教中的柏拉圖主義在意大利羅馬的梵蒂岡得到了表達。畫家拉斐爾在他的著名壁畫《雅典學院》（1508—1511 ；圖 1-61）中總結了這一基督教神學的古典來源。在壁畫中央，着紅袍的柏拉圖和着藍袍的亞里士多德正在討論如何獲得知識。柏拉圖向上指，意思是應該通過沉思“理型”的方式來獲得；而亞里士多德則向下指，意思是應該通過觀察自然世界並進行歸納的方式來獲得。爭論雙方的兩側各有人物呈現，左邊是畢達哥拉斯，代表了算術（圖1-62、1-63）；右邊是歐幾里得，代表了幾何（圖1-64）。

上

1-61. 拉 斐 爾（ 意 大 利 人，1483—1520），《雅典學院》，梵蒂岡簽字廳，1508—1511 年。 壁 畫。© 梵蒂岡博物館。

左下

1-62.《雅典學院》局部，畢達哥拉斯的寫字板。

右下

1-64.《雅典學院》局部，歐幾里得正在石板上作圖。

拉斐爾畫歐幾里得時，請的模特是自己的同代人、負責重建聖彼得大教堂的建築師多納託·伯拉孟特。壁畫中的歐幾里得（伯拉孟特）正在繪製兩個疊在一起的等邊三角形。拉斐爾或許是想通過這個對稱圖形（儘管並沒有出現在歐幾里得的《幾何原本》中）來表明，古代的幾何學正是伯拉孟特能爲聖彼得大教堂繪製出對稱平面設計圖的原因（第二章圖2-6）。