【數學物理方法1】

內容簡介

《數學物理方法》系一經典名著。 《數學物理方法》系統地提供了為解决各種重要物理問題所需的基本數學方法。 全書分三卷出版。 《數學物理方法1》為《數學物理方法1》，由R.柯朗和D. 希爾伯特編寫，內容包括：線性代數和二次型、任意函數的級數展開、線性積分方程、變分法、振動和本征值問題、變分法在本征值問題上的應用以及本征值問題所定義的特殊函數。

《數學物理方法1》可以作為高等學校“數學物理”課程的教本； 對理論物理學工作者，它也是一本有用的參考書。

作者簡介

柯朗，德國裔美國籍數學家。 出生於1888年1月8日。 出生在普魯士帝國西里西亞省的Lublinitz。

目錄

中譯本前言

英文版原序摘譯

第1章線性代數和二次型

1.1線性方程和線性變換

1.1.1向量

1.1.2正交向量組、完備性

1.1.3線性變換、矩陣

1.1.4雙線型、二次型和埃爾米特型

1.1.5正交變換和複正交變換

1.2含線性參數的線性變換

1.3二次型和埃爾米特型的主軸變換

1.3.1根據極大值原理作主軸變換

1.3.2本征值

1.3.3推廣於埃爾米特型

1.3.4二次型的惰性定理

1.3.5二次型的預解式的表示

1.3.6與二次型相聯屬的線性方程組的解I

1.4本征值的極小極大性

1.4.1用極小一極大問題表徵本征值

1.4.2應用、約束

1.5補充材料及問題

1.5.1線性獨立性及格拉姆行列式

1.5.2行列式的阿達馬不等式

1.5.3正則變換的廣義處理

1.5.4無窮多個變數的變線型和二次型

1.5.5無窮小線性變換

1.5.6微擾

1.5.7約束

1.5.8矩陣或變線型的初等除數

1.5.9複正交矩陣的譜

參考文獻

第2章任意函數的級數展開

2.1正交函數組

2.1.1定義

2.1.2一組函數的正交化

2.1.3貝塞爾不等式、完備性關係、平均逼近

2.1.4無窮多個變數的正交變換和複正交變換

2.1.5在多個自變數及更一般的假定下上述結果的正確性

2.1.6多變數完備函數組的構造

2.2函數的聚點定理

2.2.1函數空間的收斂性

2.3獨立性測度和維數

2.3.1獨立性測度

2.3.2一函數序列的漸近維數

2.4魏爾斯特拉斯逼近定理、冪函數和三角函數的完備性

2.4.1魏爾斯特拉斯逼近定理

2.4.2推廣到多元函數的情形

2.4.3函數及其微商同時用多項式逼近

2.4.4三角函數的完備性

2.5傅裡葉級數

2.5.1基本定理的證明

2.5.2重傅裡葉級數

2.5.3傅立葉係數的數量級

2.5.4基本區間長度的更改

2.5.5例子

2.6傅立葉積分

2.6.1基本定理

2.6.2把上節結果推廣到多元函數的情形

2.6.3互逆公式

2.7傅立葉積分的例子

2.8勒讓德多項式

2.8.1.從冪函數1，x，的正交化作出勒讓德多項式

2.8.2母函數

2.8.3勒讓德多項式的其他性質

2.9其他正交組的例子

2.9.1導致勒讓德多項式的問題的推廣

……

第3章線性積分方程

第4章變分法

第5章振動和本征值問題

第6章變分法在本征值問題上的應用

第7章本征值問題所定義的特殊函數

附加參考文獻

索引

書摘插畫

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【數學物理方法2】

內容簡介

《數學名著譯叢：數學物理方法2》系統地提供了為解决各種重要物理問題所需的基本數學方法。 全書分三卷出版，卷II的內容基本上與卷I無關，是從數學物理的觀點來處理偏微分方程理論的，其中包括：一階偏微分方程的一般理論、高階偏微分方程、勢論及橢圓型微分方程、兩個引數的雙曲型微分方程和多於兩個引數的雙曲型微分方程。

《數學名著譯叢：數學物理方法2》內容十分豐富，可供數學、物理、力學等方面的研究工作者、教師和學生參攷。

作者簡介

柯朗，德國裔美國籍數學家。 出生於1888年1月11日。 出生在普魯士帝國西里西亞省的Lublinitz。

目錄

英文版原序摘譯

第1章引論

1.1關於各種解的一般知識

1.1.1例

1.1.2已給函數族的微分方程

1.2微分方程組

1.2.1微分方程組和單個的微分方程等價的問題

1.2.2常係數線性方程組的消去法

1.2.3適定的、超定的、欠定的方程組

1.3特殊微分方程的求積法

1.3.1分離變數法

1.3.2用疊加法構造更多的解.傳熱方程的基本解.Poisson積分

1.4兩個引數的一階偏微分方程的幾何解釋.完全積分

1.4.1一階偏微分方程的幾何解釋

1.4.2完全積分

1.4.3奇异積分

1.4.4例

1.5一階線性和擬線性微分方程的理論

1.5.1線性微分方程

1.5.2擬線性微分方程

1.6 Legendre變換

1.6.1對於二元函數的Legendre變換

1.6.2對於n元函數的Legendre變換

1.6.3 Legendre變換在偏微分方程上的應用

1.7 Cauchy和Kowalewsky存在定理

1.7.1引言和例

1.7.2化為擬線性微分方程組

1.7.3初始流形上的導數的確定法

1.7.4解析微分方程的解的存在性的證明

1.7.5關於線性微分方程的一件注意事項

1.7.6關於非解析微分方程的一個附注

1.7.7關於臨界初始數據的幾點注記.特徵

第1章附錄I關於極小曲面的支持函數的Laplace微分方程

第1章附錄II一階微分方程組和高階微分方程組

1.1啟發性的話

1.2兩個一階偏微分方程所成的組和一個二階微分方程等價的條件

第2章一階偏微分方程的一般理論

2.1兩個引數的擬線性微分方程的幾何理論

2.1.1特徵曲線

2.1.2初值問題

2.1.3例

2.2 n個引數的擬線性微分方程

2.3兩個引數的一般微分方程

2.3.1特徵曲線和焦線.Monge錐

2.3.2初值問題的解

2.3.3特徵作為分支元素.補充說明.積分劈錐面.焦散流形

2.4完全積分

2.5焦線和Monge方程

2.6例

2.6.1直光線的微分方程. （grad u）2=1

2.6.2方程F（ux；uy）=0

2.6.3 Clairaut微分方程

2.6.4管狀曲面的微分方程

2.6.5齊性關係式

2.7 n個引數的一般微分方程

2.8完全積分及Hamilton-Jacobi理論

2.8.1包絡和特徵曲線的造法

2.8.2特徵微分方程的典範形式

2.8.3 Hamilton-Jacobi理論

2.8.4例.二體問題

2.8.5例.橢球面上的短程線

2.9 Hamilton-Jacobi理論及變分法

2.9.1典範形式的Euler微分方程

2.9.2短程距離或短時距及其導數.Hamilton-Jacobi偏微分方程

2.9.3齊次被積函數

2.9.4極值曲線場.Hamilton-Jacobi微分方程

2.9.5射線錐面.Huygens構造法

2.9.6短時距的表示式的Hilbert不變積分

2.9.7 Hamilton-Jacobi定理

2.10典範變換和應用

2.10.1典範變換

2.10.2 Hamilton-Jacobi定理的新證明

2.10.3常數的變易（典範擾動理論）

第2章附錄I

2.1特徵流形的進一步討論

2.1.1關於在n維空間中求導的一些注釋

2.1.2初值問題.特徵流形

2.2具有相同主要部分的擬線性微分方程組.理論的新推演

2.3 Haar的唯一性的證明

第2章附錄II守恒定理的理論

第3章高階微分方程

3.1兩個引數的二階線性和擬線性微分運算元的標準形式

3.1.1橢圓型、雙曲型和拋物型的標準形式.混合型

3.1.2例

3.1.3兩個引數的二階擬線性微分方程的標準形式

3.1.4例.極小曲面

3.1.5兩個一階微分方程的方程組

3.2一般的分類和特徵

3.2.1記號

3.2.2兩個引數的一階方程組.特徵

3.2.3 n個引數的一階方程組

3.2.4高階微分方程.雙曲性

3.2.5補注

3.2.6例.Maxwell方程和Dirac方程

3.3常係數線性微分方程

3.3.1二階方程的分類和標準形

3.3.2二階方程的基本解

3.3.3平面波

3.3.4平面波（續）.前進波.彌散

3.3.5例.電報方程.電纜中的無畸變波

3.3.6柱面波和球面波

3.4初值問題.波動方程的輻射問題

3.4.1熱傳導的初值問題. θ 函數的變換

3.4.2波動方程的初值問題

3.4.3 Duhamel原理.非齊次方程.延后勢

3.4.3一階方程組的Duhamel原理

3.4.4二維空間裏的波動方程的初值問題.降維法

3.4.5輻射問題

3.4.6傳播現象和Huygens原理

3.5用Fourier積分解初值問題

3.5.1 Fourier積分的Cauchy方法

3.5.2例

3.5.3 Cauchy方法的證明

3.6數學物理微分方程的曲型問題

3.6.1引言

3.6.2基本原理

3.6.3關於“不適定的”問題的注記

3.6.4關於線性問題的一般注記

第3章附錄I

3.1 Sobolev引理

3.2伴隨運算元

3.2.1矩陣運算元

3.2.2伴隨微分運算元

第3章附錄II Holmgren的唯一性定理

第4章勢論及橢圓型微分方程

4.1基本概念

4.1.1 Laplace方程.Poisson方程及有關方程

4.1.2質量分佈的勢

4.1.3 Green公式和應用

4.1.4質量分佈的勢的導數

4.2 Poisson積分及其應用

4.2.1邊值問題及Green函數

4.2.2對於圓和球的Green函數.對於球和半空間的Poisson積分

4.2.3 Poisson公式的一些推論

4.3平均值定理及其應用

4.3.1齊次的及非齊次的平均值方程

4.3.2平均值定理的逆定理

4.3.3對於空間分佈的勢的Poisson方程

4.3.4其他橢圓型微分方程的平均值定理

4.4邊值問題

4.4.1準備知識.對邊界值和區域的連續依賴性

4.4.2用Schwarz交替法求邊值問題的解

4.4.3對於具有充分光滑邊界的平面域的積分方程法

4.4.4關於邊界值的注記

4.4.4容量和邊界值的取得

4.4.5 Perron的下調和函數法

4.5約化的波動方程.散射

4.5.1背景

4.5.2 Sommerfeld的輻射條件

4.5.3散射

4.6更一般的橢圓型微分方程的邊值問題.解的唯一性

4.6.1線性微分方程

4.6.2非線性方程

4.6.3關於Monge-Ampère微分方程的Rellich定理

4.6.4極大值原理及應用

4.7 Schauder的先驗估計及其應用

4.7.1 Schauder的估計

4.7.2邊值問題的解

4.7.3强閘函數及其應用

4.7.4 L[u]=f的解的某些性質

4.7.5關於橢圓型方程的進一步的結果.在邊界上的性態

4.8 Beltrami方程的解

4.9關於一個特殊擬線性方程的邊值問題.Leray和Schauder的不動點法

4.10用積分方程法解橢圓型微分方程

4.10.1特解的構造.基本解.參助函數

4.10.2附注

第4章附錄I非線性方程

4.1擾動理論

4.2方程 Δ u=f（x；u）

第4章附錄II橢圓型偏微分方程理論的函數論觀

4.1准解析函數的定義

4.2一個積分方程

4.3相似性原理

4.4相似性原理的應用

4.5形式幂

4.6准解析函數的微分與積分

4.7例.混合型方程

4.8准解析函數的一般定義

4.9擬共形性和一個一般表示定理

4.10一個非線性邊值問題

4.11 Riemann映射定理的一個推廣

4.12關於極小曲面的兩個定理

4.13具有解析係數的方程

4.14 Privaloff的定理的證明

4.15 Schauder不動點定理的證明

第5章兩個引數的雙曲型微分方程

5.0引言

5.1關於主要是二階的微分方程的特徵

5.1.1基本概念.擬線性方程

5.1.2積分曲面上的特徵

5.1.3特徵線是間斷性的曲線.波前.間斷性的傳播

5.1.4一般的二階微分方程

5.1.5高階微分方程

5.1.6特徵在點變換下的不變性

5.1.7化為一階擬線性方程組

5.2一階雙曲型方程組的特徵標準形式

5.2.1線性、半線性及擬線性方程組

5.2.2 k=2的情形.用速矢端線變換法達到線性化

5.3在可壓縮流體動力學上的應用

5.3.1一維等熵流

5.3.2球面對稱流

5.3.3定常無旋流

5.3.4關於非等熵流的三個方程的組

5.3.5線性化的方程

5.4唯一性.依賴區域

5.4.1依賴區域、影響區域及决定區域

5.4.2對於二階線性微分方程解的唯一性的證明

5.4.3對於一階線性組的一般唯一性定理

5.4.4關於擬線性組的唯一性

5.4.5能量不等式

5.5解的Riemann表示

5.5.1初值問題

5.5.2 Riemann函數

5.5.3 Riemann函數的對稱性

5.5.4 Riemann函數及由一點發出的輻射.向高階問題的推廣

5.5.5例

5.6用反覆運算法解線性和半線性雙曲型的初值問題

5.6.1二階方程的解的構造

5.6.2對於一階線性及半線性組的記號和結果

5.6.3解的構造

5.6.4附注.解對參數的依賴性

5.6.5混合初值及邊值問題

5.7關於擬線性組的Cauchy問題

5.8對於單個的高階雙曲型微分方程的Cauchy問題

5.8.1化為一階特徵組

5.8.2 L[u]的特徵表示

5.8.3 Gauchy問題的解

5.8.4其他解法.P.Ungar給出的一個定理

5.8.5附注

5.9解的間斷性.激波

5.9.1廣義解.弱解

5.9.2表現守恒定律的擬線性組的間斷性.激波

第5章附錄I特徵作為座標的應用

5.1關於一般二階非線性方程的附注

5.1.1擬線性微分方程

5.1.2一般的非線性方程

5.2 Monge-Ampèere方程的特殊性質

5.3利用複數域由橢圓型轉變為雙曲型的情形

5.4在橢圓型情形中解的解析性

5.4.1函數論的注記

5.4.2 Δ u=f（x；y；u；p；q）的解的解析性

5.4.3關於一般微分方程F（x；y；u；p；q；r；s；t）=0的注記

5.5對於解的延拓使用複數量

第5章附錄II瞬態問題與Heaviside運算微積

5.1用積分表示解瞬態問題

5.1.1顯例.波動方程

5.1.2問題的一般性提法

5.1.3 Duhamel積分

5.1.4實驗解疊加法

5.2 Heaviside運算元法

5.2.1最簡單的運算元

5.2.2運算元實例及應用

5.2.3應用於傳熱問題

5.2.4波動方程

5.2.5運算微積的理論根據.其他一些運算元的解釋

5.3瞬態問題的一般理論

5.3.1 Laplace變換

5.3.2用Laplace變換解瞬態問題

5.3.3舉例.波動方程與電報方程

第6章多於兩個引數的雙曲型微分方程

6.0引言

第一部分解的唯一性、構造、幾何性質

6.1二階微分方程.特徵的幾何性質

6.1.1二階擬線性微分方程

6.1.2線性微分方程

6.1.3射線或雙特徵

6.1.4特徵曲面作為波前

6.1.5特徵的不變性

6.1.6射線錐面.法錐面.射線劈錐面

6.1.7與Riemann尺度的聯系

6.1.8對射變換

6.1.9 Huygens的波前構圖法

6.1.10類空間曲面.類時間方向

6.2二階方程.特徵的作用

6.2.1二階間斷性

6.2.2沿特徵曲面的微分方程

6.2.3間斷性沿射線的傳播

6.2.4例證.三維空間裏波動方程Cauchy問題的解

6.3高階運算元的特徵流形的幾何性質

6.3.1記號

6.3.2特徵曲面.特徵形.特徵矩陣

6.3.3特徵條件在時空中的解釋.法錐面與法曲面.特徵零化向量與本征值

6.3.4特徵曲面--波前的構造.射線、射線錐面、射線劈錐面

6.3.5波前與Huygens的構圖法.射線曲面與法曲面

6.3.6不變性

6.3.7雙曲性.類空間流形、類時間方向

6.3.8對稱雙曲型運算元

6.3.9高階對稱雙曲型方程

6.3.10多重特徵曲面葉和可約化性

6.3.11關於雙特徵方向的引理

6.3例.流體動力學、晶體光學、磁流體動力學

6.3.1引言

6.3.2流體動力學微分方程組

6.3.3晶體光學

6.3.4法曲面和射線曲面的形狀

6.3.5晶體光學的Cauchy問題

6.3.6磁流體動力學

6.4間斷性的傳播和Cauchy問題

6.4.1引言

6.4.2一階方程組的一階導數的間斷性.輸動方程

6.4.3初始值的間斷性.理想函數的引入.前進波

6.4.4一階方程組的間斷性的傳播

6.4.5重數不變的特徵

6.4.5間斷性沿高於一維的流形而傳播的例子.錐形折射

6.4.6初始間斷的分解和Cauchy問題的解

6.4.6特徵曲面作為波前

6.4.7用收斂的波展開式解Cauchy問題

6.4.8二階和高階的方程組

6.4.9補注.弱解.激波

6.5振盪的初始值.解的漸近展開式.向幾何光學的過渡

6.5.1前注.高階前進波

6.5.2漸近解的構造

6.5.3幾何光學

6.6初值問題的唯一性定理和依賴區域的例子

6.6.1波動方程

6.6.2微分方程utt- Δ u+（ λ/ t）ut=0（Darboux方程）

6.6.3真空中的Maxwell方程

6.7雙曲型問題的依賴區域

6.7.1引言

6.7.2依賴區域的描述

6.8能量積分和一階線性對稱雙曲型方程組的唯一性定理

6.8.1能量積分和Cauchy問題的唯一性

6.8.2一階的和高階的能量積分

6.8.3混合初邊值問題的能量不等式

6.8.4對於單個二階方程的能量積分

6.9高階方程的能量估計

6.9.1引言

6.9.2關於高階雙曲型運算元的解的能量恒等式和不等式.Leray與Garding的方法

6.9.3其他方法

6.10存在定理

6.10.1引言

6.10.2存在定理

6.10.3關於初始值性質的持久性和關於相應的半群的一些注記.Huygens小原理

6.10.4聚焦.可微性非持久的例子

6.10.5關於擬線性方程組的注記

6.10.6關於高階方程或非對稱方程組的注記

第二部分解的表示

6.11引言

6.11.1概述.記號

6.11.2一些積分公式.函數的平面波分解式

6.12常係數二階方程

6.12.1 Cauchy問題

6.12.2波動方程的解的構造

6.12.3降維法

6.12.4解的進一步的討論Huygens原理

6.12.5非齊次方程.Duhamel積分

6.12.6一般二階線性方程的Cauchy問題

6.12.7輻射問題

6.13球面平均法.波動方程與Darboux方程

6.13.1關於平均值的Darboux微分方程

6.13.2與波動方程的聯系

6.13.3波動方程的輻射問題

6.13.4廣義前進球面波

6.13用球面平均法解彈性波的初值問題

6.14平面平均值法.對於一般常係數雙曲型方程的應用

6.14.1一般方法

6.14.2在解波動方程上的應用

6.14在晶體光學方程和其他四階方程上的應用

6.14.1 Cauchy問題的解

6.14.2解的進一步的討論.依賴區域.隙窩

6.15 Cauchy問題的解作為數據的線性泛函.基本解

6.15.1說明.記號

6.15.2借助於 δ 函數的分解來構造輻射函數

6.15.3輻射矩陣的正則性

6.15.3廣義Huygens原理

6.15.4例子.特殊的常係數線性方程組.隙窩定理

6.15.5例子.波動方程

6.15.6例子.關於單個二階方程的Hadamard的理論

6.15.7進一步的例子.兩個引數.注記

6.16超雙曲型微分方程和一般常係數二階方程

6.16.1 Asgeirsson的一般平均值定理

6.16.2平均值定理的別證

6.16.3在波動方程上的應用

6.16.4波動方程的特徵初值問題的解

6.16.5其他應用.關於共焦橢球族的平均值定理

6.17對於非類空間初始流形的初值問題

6.17.1由中心在一個平面上的球上的平均值確定的函數

6.17.2在初值問題上的應用

6.18關於前進波的注記，訊號的傳播和Huygens原理

6.18.1無畸變前進波

6.18.2球面波

6.18.3輻射與Huygens原理

第6章附錄廣義函數--分佈

6.1基本定義和概念

6.1.1引言

6.1.2理想元

6.1.3記號和定義

6.1.4疊積分

6.1.5線性泛函與運算元--雙一次型

6.1.6泛函的連續性.試探函數的支集

6.1.7關於r連續性的引理

6.1.8幾個輔助函數

6.1.9例

6.2廣義函數

6.2.1引言

6.2.2用線性微分運算元去定義

6.2.3用弱極限去定義

6.2.4用線性泛函去定義

6.2.5等價性.泛函的表示

6.2.6幾個結論

6.2.7例子. δ 函數

6.2.8廣義函數與通常函數的等同

6.2.9定積分.有限部分

6.3廣義函數的演算

6.3.1線性運算

6.3.2引數的代換

6.3.3例子. δ 函數的變換

6.3.4廣義函數的相乘與褶積

6.4補注.理論的修飾

6.4.1引言

6.4.2試探函數的它種空間.空間*.Fourier變換

6.4.3週期函數

6.4.4廣義函數與Hilbert空間.負範數.强定義

6.4.5關於其他種類的廣義函數的注記

參考文獻

英漢名詞對照表