國際知名數學專家：美麗的數學+美妙的數學+尖叫的數學（全三冊）

1. 他是數學界文筆最好的段子手，也是寫作圈著作等身的“掃地僧”，一個數學定理以他的名字強勢命名，三所高校與他的經歷息息相關，他是當代真人版“謝 耳朵”，也是本書作者，數學家愛德華·沙伊納曼！

2. 一個圖形怎麼能有多於一個但又少於兩個面？ 一個高度精確的醫藥測試，有可能更容易得出錯誤的結論嗎？ 如果你只能看到銷售數據的第一位數字，你怎麼知道你的會計是不是在說謊……數學無所不在，真實、有趣又美妙。 當你開始用數學的眼光去觀察世界，生活或許會變得更簡單而確定。

3. 獨具特色的數學科普書，既有風趣幽默的語言與案例，又有數學家對數學終極之美的狂熱與追求。

4. 別出心裁的批註式寫法，隨時隨地自備彈幕，讀書的過程也是和作者隔空交流的過程。

一個圖形怎麼能有多於一個但又少於兩個面？

一個高度精確的醫藥測試，有可能更容易得出錯誤的結論嗎？

如果只能看到銷售數據的第一位數字，你怎麼知道你的會計是不是在說謊？

……

在我們的生活中，數學無所不在，真實、有趣而美妙。 當你開始用數學的眼光去觀察世界，生活或許會變得更簡單而確定，你準備好了嗎？

愛德華?沙伊納曼，「沙伊納曼定理」的命名人，知名的數學家和教育家，會在這本書中幫我們發現和解答身邊有趣的數學問題，帶領我們走進那個關於數字 、圖形和不確定性的美麗新世界。

愛德華·沙伊納曼（Edward Scheinerman）

普林斯頓大學數學博士，約翰?霍普金斯大學教授、工程教育學院副院長、應用數學系主任。 曾兩度獲得美國數學協會福特寫作獎，並提出了數學上的「沙伊納曼定理」。 目前已出版17部專著。

自序

前言：定理與證明

第一部分 數

1. 質數

如果我們只能將一點數學知識傳給後代，那應該是下面這個問題的答案：究竟有多少個質數？

2. 二進位

世界上有 10 種人：懂二進制的人和不懂的人。

3.1·0.999999999999…

毫無疑問，數字 1 簡單的寫法是這樣的：1。 但你可能也會了解到這樣的事實，即無限重複小數0.9999 是這一數字的另一種寫法。

4. 2

在樂隊開始演奏之前 , 音樂家會進行調音以確保他們所有的音符悅耳和諧。 而這在數學上是不可能的。

5.1i

所有的數字都是“想像的”，因為它們是思維的發明。

6.1π

π 這個數字已經讓幾個世代著迷了。

7.1e

對數學家而言，還有比以自己名字命名的數字更高的榮譽嗎？

8.1∞

怎麼可能「超越」無限呢？ 什麼東西可能大於無窮？ ！

9.1斐波那契數列

我們從鋪磁磚問題開始。

10.1階乘！

你可以用多少種方法將書排列在書架上？

11.1本福德定律

可悲的事實是，數字就像人類一樣愛慕虛榮，它們都想爭當。

12.1算法

如果一個演算法在數學上是正確的，但需要幾個世紀才能完成其工作的話，就沒有多大用處了。

第二部分 形狀

13.1三角形

我們可不是從紙上剪下很多三角形，然後用量角器來檢驗它們的角度的！

14.1畢達哥拉斯和費馬

在《綠野仙蹤》的結尾，稻草人並沒有得到大腦，但他獲得了智慧。

15.1圓

圓是優雅而美麗的。

16.1柏拉圖立體

多邊形是在平面裡繪製的圖形。 如果在三維空間中繪製，會產生什麼樣的類似情況呢？

17.1分形

我們需要一個不同類型的形狀概念，用來描述我們所處的這個瑣碎而不規則的世界。

18.1雙曲幾何

數學定義的高塔必須奠基於某處。 對希臘人來說，這個基礎就是幾何學。

第三部分 不確定性

19.1非傳遞性骰子

世界痴迷於排名。

20.1醫療機率

量化擔憂是有困難的，在這種情況下，任何人產生憂慮都是正常的，所以讓我們對這個問題稍作修改：你患有這種罕見疾病的可能性有多大？

21.1混沌

骰子的滾動真的是隨機的嗎？

22.1社會選擇與阿羅定理

民主是根據社會成員的意見來做決定的過程。 它是透過讓個人有機會表達他們的偏好（透過投票），然後結合這些個人喜好做出決定來實現的。

23.1紐科姆悖論

人類的行為是可以預測的嗎？

自序

樂趣

數學，有趣而美妙。 在不同門類的學科裡，都有人們熟悉的「代表作」。 美術有《蒙娜麗莎》，戲劇有《哈姆雷特》，生物學有遺傳DNA，考古學有羅塞塔石碑的破譯，物理學有方程式E = mc2。 但是，數學方面很難說得明確——我想要與您分享的正是我自己鍾愛的那些數學經典。

正如擁有大量館藏的美術館只能展覽部分作品一樣，作為這本書的“館長”，我也只能精心選出部分內容呈現在這裡。

沒有人要求我只能展示一枚數學珍寶，不過要真是那樣，我也有自己的選擇，那就是：對質數有無限多的證明。 而這也勾勒出我對這本書的主題取捨的原則：

如果你不是數學家，恐怕會感到陌生。 讀者或許聽過質數這個概念，但恐怕沒有思考過「到底有多少個質數？」這個問題。

強調證明（proof）這個概念，特別是利用反證法（proof by contradiction）去證明。

不需要大學程度的數學能力，只要利用高中生常用的數學工具，我們就可以解決書中所有的問題。

答案不是很明顯，而且會帶給你驚喜——我們很容易理解有無數的偶數和正方形，質數的排列卻並不存在一個清晰的定式，但是你會驚訝地發現，只需要一個簡單的理由， 必然推導出質數有無限多的結論。

存在著實際的應用：質數的這項特性被密碼學所運用。

儘管本書所涉及的各類專題不一定同時具備上述全部特徵，但每一章都將包含數學的神奇之處，肯定能夠讓讀者感到驚訝和好奇。

1940年，英國數學家戈弗雷? H. 哈代（ Godfrey H.Hardy）出版了《一個數學家的辯論》（ A Mathematician’s Apology），從他的個人角度闡釋了畢生數學研究的正當理由。 在他的《辯白》中，哈代解釋了自己所經歷的喜悅和滿足。 不過解釋數學帶來的喜悅就如同想要解釋游泳帶來的樂趣：除非一個人可以漂浮一小會兒，並在清涼的水中撲騰幾下，否則很難理解游泳的樂趣。

我擔心許多人所接受的數學教育是枯燥和乏味的。 想像一下，如果孩子的閱讀教育主要集中在學習拼字和標點符號上，而不是閱讀《哈利波特》或著手創作屬於自己的故事，那麼這幾乎很難激發學生對文學的熱愛。

以下是一些人可能會對自己所接受的數學教育所進行的滑稽描述：

在小學時，我有10個橘子，但有人拿走了3個。 他們為什麼這麼做？ 我本來也會分享的啊。

在國中時，我找到了公分母，以及百分比。

在高中時，我學到了二次方程式，我仍然可以背出來 ——但是我不知道這有什麼意義。

當然，數學有很強的實際應用價值，但數學也有其深刻的美。 我們的目標就是與讀者分享一點這樣的美好。

概述

數學是關於數字和形狀的研究。 因此，我選取了這兩個概念作為本書前兩部分的主題。

在部分「數」中，我們將探索一些特定數字（如 和e）以及數列（如質數和斐波那契數列）。 我們為讀者準備了很多驚喜，例如一個無窮（infi nity）怎麼樣可以比另一個無窮“更加無窮”，以及為什麼有更多的數字以1開頭，而不是9。

在「形狀」部分，我們將見到一些熟悉的朋友（如三角形和圓形），還有三維圖形（柏拉圖式立體）和大於一維但小於二維的形狀（分形）。 還有許多驚喜在前方等著你。 例如，我們很容易理解該如何用正方形或正六邊形來鋪地板，但其實使用正五邊形也「可能」做到。 你感到驚訝嗎？ 好奇嗎？ 這是我所希望見到的。

我們以「不確定性」作為本書的最終部分，探討隨機的、不可預測的和違反常理的問題。 高精度的醫學測試給出的結果為何通常是錯誤的？ 排名有沒有意義？ 當兩名以上候選人競選時，選舉公職人員的「」方式是什麼？ 與前面的內容一樣，驚喜依舊在向你招手。

這本書裡的每一章都是獨立的，你可以隨時以任何順序閱讀。 內容的難度各不相同，暫時跳過更具挑戰性的部分，等稍後再重新拾起，也是不錯的選擇。

如何閱讀一本數學書

慢慢來。 本書的章節都很短，但需要時間和精力來掌握這些觀點。 我經常給出一些計算或代數來支撐各個要點，讀者可以透過鉛筆和稿紙分步驟進行運算，以便更好地了解整個過程。 有時也可能需要重讀幾遍材料才能搞清楚。

如果可能，請不要獨自閱讀本書。 叫上一個朋友，一起討論書中的觀點。 為了讓朋友理解你的觀點，你必須認真複述書中的內容，這將有助於你對這些概念的理解。

在每一個章節中，比較複雜的觀點都安排在後面。 因此，如果讀到一半你感覺“已經差不多了”，那麼也可以開始閱讀另外一章。

12. 演算法

創意廚師一般不會嚴格遵循食譜。 相反，他們利用食譜激發他們烹飪的靈感。 新手廚師更傾

向於嚴格按照步驟行事。

同樣，具有良好方向感的司機不需要地圖或書面指示來找到他們的目的地。 其他人則需要詳

細的路線規劃導引。

電腦就像新手一樣。 當需要對一些數字進行求和時，他們遵循一系列精心規定的步驟，並按照程序執行每個操作。 這些程式被稱為演算法。 電腦演算法在我們的生活中無處不在：它們把利息加入我們的銀行帳戶中，確定文本文檔中的分頁位置，將DVD上的數字資料轉換成電影，預測天氣，搜尋網頁上包含給定配料清單 的食譜，當我們試圖找到一個模糊的地址時，透過GPS設備與我們聯繫。

大多數人學習的個數學演算法是加法。 求25 18，我們知道先將5和8相加（我們記得的結果是13），寫下3，進位為1，依此類推。

演算法設計者不僅僅為解決問題提供正確的程序，該方法應該也是有效的。 如果一個演算法在數學上是正確的，但需要幾個世紀才能完成其工作的話，就沒有多大用處了。 我們來看看例子。

排序

每學期結束時，我都會有一堆期末考卷要寄還給學生。 當學生來到我的辦公室拿作業時，我不想在亂糟糟的紙堆裡翻檢查找而找到他們的考卷。 相反，我按照學生姓名的字母順序排列試卷。 所以，在我宣布考卷可以取走之前，需要先對它們進行排序。

問題是將一些順序混亂的文件按字母順序把它們重新排列。 怎麼做好？

讓我們從一個簡單而低效的想法開始。 假設我班上有一百名學生。 我從未排序的紙堆取出張試卷，看看它是否按字母順序排列。 我如何做到這一點？ 我將這個卷子與其他的進行比較。 很有可能，這張位於未排序的紙堆頂部的試卷並不是按字母順序排列的張，所以我把它放在紙堆的底部，然後再試一次。 我一直這樣做，直到我確定出按字母順序排列的紙張。 我拿走那張紙，把它放入新的一堆，它們將按字母順序擺放。

我回到未排序的紙堆上，現在是99張，就像以前一樣，按字母順序找到紙張。 我是這樣做的，拿起上面的一張，然後與堆中的所有其他紙張比較，如果不是正確的，就把它放在後。 當我找到靠前的字母時，將其從未排序的紙堆中取出，並將其放在已排序的紙堆的末尾。

現在未排序的紙堆上只剩下98張紙，我重複這個程序：按字母順序搜尋靠前的紙張，然後將其移到已排序的紙堆的末端。

這需要多長時間？

基本的步驟是比較兩個卷子，並根據字母順序決定。 我們透過計算分類過程中執行的基本比較的次數來評估分類過程的效率。 由於我的班級有100名學生，我需要進行多少次取出2張考卷、閱讀名字和進行比較的操作，才能決定哪一個需要先被拿出去？

在100張無序堆疊的考卷中，我將張與其後所有的考卷進行比較：這就是99次比較。 我可能不得不這樣比完所有100張試卷（我正在尋找的試卷可能是後一張）。 所以要按字母順序找到篇試卷可能需要100×99=9900次比較。

……

因此，用這種方法比較的次數是99×99=9801。 這比種方法好得多，但仍然複雜。 如果我可以在兩秒鐘內比較兩張試卷並且（如果需要的話）對它們進行互換，那麼按照字母順序排列這些試卷需要花費五個多小時。 這是無法容忍的。

我感到很沮喪，於是離開辦公室出去散步。 在大廳，我看到兩個為我工作的博士後，一個邪惡的笑容浮現在我的嘴邊。 很快，我跑回辦公室，把未分類的一堆考卷分成兩半，分給他們每人各五十份。 “給你們每個人一堆考卷”，我說，“請把每一堆按字母順序排列，然後還到我的辦公室。”搞定！ 我高興地回到辦公室。

當我的博士後對試卷進行排序後，我還有一些工作要做。 我需要將他們分別整理的考卷合併在一起。 那會有多困難？ 我將把這兩疊排列好的考卷放在我的桌上。 我會查看每一疊上面的考卷，看哪一張比較靠近字母表的前面。 下圖說明了這個合併過程：

當其中一疊用盡後，我只要將另一疊剩下的考卷放在排好的考卷後面。 在複雜的情況下，我只做了99次對比。 我可以在幾分鐘內做到這一點！

但是我的博士後呢？ 每個人有50張試卷要進行排序。 他們都極為聰明，所以他們並沒有自己整理，而是把各自的試卷分成兩半（所以每個人未排序的試卷變為四疊，每一疊為25張），然後讓四個研究生對這些試卷 進行排序。 當研究生完成工作後，博士後只需要各自將兩疊各25張的考卷合併成一疊。 每位博士後多進行49次比較。

然而四個研究生都不笨。 他們每人把考卷分成兩疊（每疊有12張和13張卷子），並找到8名高年級本科生，要求他們對小摞的考卷進行分類。 研究生仍需要將大學部學生交回他們的考卷進行合併，然後再將各自的25張交給博士後。

高年級本科生如何對考卷進行排序？ 你猜對了：他們把各自的考卷又分成一半（每疊6或7張），讓低年級本科生進行排序。 三年級學生將每一疊考卷分成兩半（每疊3或4張），並交給二年級學生。 後，二年級學生再把考卷分成兩半（每個1或2張），並把它們交給一群大一新生。 大一新生只能靠自己，他們直接將考卷排序──這並不困難，因為他們的考卷只有1或2張！

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★一本詩意感性的數學史，一本記錄了數學如何改變世界史的佳作。 人類的故事與數學密切交織，解讀數學的美妙與優雅，闡釋數學的發展如何創造和影響了我們的文明。

★數學不是枯燥的公式與定理，繁瑣的計算與推導，數學是藝術創作的法則，是多重宇宙的入口，是機器思考的起點，也是無限奧秘的終端。 ——是我們整個文明的基石，是我們的一切。

★跟隨勇敢的冒險家、浪漫的藝術家、貪婪的商人的腳步，以起伏的生動敘事講述數學的發展和應用，即便把數學知識忘得乾乾淨淨，也能輕鬆讀懂！

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你可能還依稀記得在學校學過的數學：幾何、代數、微積分，也可能你早就將這些知識拋在腦後。 你可能精於計算，也可能患有“數學恐懼症”，千方百計地避免和數字打交道。 無論你是哪一種人，數千年來人類在數學上的非凡成就，都塑造和改變了你的世界和生命。

哥倫布發現新大陸得益於對三角形的理解，而現代工業社會的誕生則始於對數字的掌握。 數學為文藝復興遞上鑿子，也促進了世界各地偉大建築的誕生。 數字是全人類的通用語言，語言不通的商人得以依靠數學建立互利貿易。 數學也是燃料，助力人類實現從自由市場到登月的一系列抱負。

我們的生活方式、制度和基礎設施均建立在數字之上。 無論商業、住房、醫藥、政治、戰爭、農業，或是藝術、旅遊、科技，幾乎我們存在的每一個面向都以數學為基礎建立。 人類的故事與數學密切交織，我們永遠可以從數學中找到快樂和意義。

麥克布魯克斯，量子物理學家，科普作家，《新科學人》雜誌（New Scientist）作者。 著有科普暢銷書《未來科技的13個密碼》（13 Things That Don't Make Sense）。

致讀者/001

引 言 為什麼長於計算是人類最偉大的成就/001

第一章 算術/001

第二章 幾何/026

第三章 代數/064

第四章 微積分/101

第五章 對數/132

第六章 虛數/157

第七章 統計學/186

第八章 資訊理論/219

結 語 大美數學/251

致 謝 /257

註 釋 /259

1.一本通俗好讀的數學史，集結了數學史上那些令人尖叫的閃耀時刻。

這本書透過通俗的語言，以講故事的方式，為讀者展示了改變了數學、改變了歷史的閃耀時刻。 例如，希帕索斯推翻了老師畢達哥拉斯「萬物皆數」理論，引發次數學危機；虛數的由來是從一段背叛的歷史中產生的；無理數的發現居然來自法老王的挑戰…

2.從數學的角度看世界，了解不一樣的邏輯和處世哲學。

這本書中不僅有數學和歷史，也涉及人類學、哲學等方面的相關思考。 書本透過對數學史的演變和發展，展現了當時社會思想碰撞的場面，以及數學家、思想家乃至平民的偉大智慧和邏輯，推動了人類文明的前進。

3.作者為國際知名數學史專家翁貝托‧博塔茲尼。

國際雜誌《數學史》前主編，中國科學院自然科學史研究所訪問教授。 畢達哥拉斯獎（2006）、列昂·艾伯特·懷特曼紀念獎（2015年）得主。

這是一本通俗的數學史讀物，集結了數學史上那些令人尖叫的閃耀時刻，為讀者展示每一個時刻給人類文明帶來的後果和相互交織的影響。

如果說，數學是上帝給人們的說明書，那這本書就是說明書的解讀。

歐幾裡得以外的宇宙不是只有三維，

虛數的由來從一段背叛的歷史中產生，

無理數的發現居然來自法老王的挑戰，

自然數0中充滿禪意的虛無解脫了人們對自然數的認知…

數學的浪漫和璀璨，遠比你想像中簡單！

翁貝托·博塔茲尼（Umberto Bottazzini）

義大利人，國際知名數學史專家，曾任國際雜誌《數學史》主編。

2002年獲邀在北京第24屆國際數學家大會發表演講

2006年榮獲畢達哥拉斯獎

2015年榮獲數學史領域列昂?艾伯特?懷特曼紀念獎

2017年受邀至中國科學院自然科學史研究所

前言 它們在數百年的黑暗中閃耀，用數學照亮了人類的歷程

第一章 計算時間與…物件

刻痕與結繩

數字的發明

自然數

第二章 表示虛無的數字 0

虛無的悖論

虛無的空間

零變成了一個數字

0 和 1，一切數字的淵源

第三章 發現無理數

法老的挑戰

是誰提出了畢達哥拉斯定理？

一樁邏輯上的醜聞

奇妙的五角星和黃金比例

第四章 正方形與圓形

聖殿裡的水盆與書寫者的田地

測量大氣…和月亮

刻苦鑽研的古代“割圓者”

測量圓形的阿基米德

探索「真正」的化圓為方

π 的本質

第五章 虛 數

一個關於秘密與背叛的故事

把方程式變成詩

負數的平方根

計算虛數

第六章 非歐幾何的世界

不止於三維

「真正」的空間幾何

「想像」幾何

彎曲空間

後記 數學的本質就在於它的自由

前言 它們在數百年的黑暗中閃耀，用數學照亮了人類的歷程

世上存在先後。 人類的事件更迭總是有先有後，事物和歷史的本質亦然。 先與後被一瞬間劃分──一個影響了數十年，甚至數百年的決定性瞬間。

大自然以一種不可預測的方式運轉著，然後會在某些時刻猝不及防地出擊，且往往是慘痛的一擊，在人類歷史上留下印記。 正如西元79年8月24日的那個時刻，電閃雷鳴之下，維蘇威火山低沉的隆隆聲不斷從地底傳來，宣告著一場毀滅性的火山噴發，即將抹平龐貝城所有的生命跡象 。 從廢墟遺址中可以看出，龐貝先前是一座交通、貿易發達的充滿活力的城市，後來卻永遠被埋葬在灰燼之中。

「一開始，人們聽到地下深處傳來一陣轟隆聲，如雷聲一般。緊接著，一陣劇烈的震動撼動了大半個城市。在恐怖的六分鐘之內，六萬人喪失了生命。起初 ，海水退去，攜捲著停泊在海上的大船小舟，堤道和海濱露出了水面。接著，它漲了回來，伴隨著隆隆巨響，掀起了比往常高出十五米的巨浪。」這 段話講述的並不是龐貝城的故事，而是出自一位地質學家寫的專欄，講述了1755年11月1日里斯本大地震來臨的時刻。 當時，一股積蓄了千年之久的巨大能量在短短一瞬迸發，造成了駭人聽聞的後果。 我們很清楚，這樣的災難仍會重現。 在伏爾泰的小說《老實人》中，堅持萊布尼茨式樂觀主義的邦葛羅斯安慰倖存者們時，說：「如果沒有這場災難，事物就無法繼續進行了。因為一切都是 好的安排。」無論多麼悲慘，在一位法國啟蒙思想家的筆下，這個自然事件變成了人間喜劇中一個滑稽可笑的意外。

歌德把歷史稱作「上帝的神祕作坊」。 在這個「作坊」裡，堆積著對人類來說無關緊要的小事。 只在極少時候，它們才會被某些時刻照亮，史蒂芬·茨威格稱之為「高光時刻」。 這些時刻“充斥著潛在的悲劇與厄運，在某一天、某一個小時，甚至常常是在一分鐘內降臨，無可避免”，改變的不僅僅是個人，還往往是一個民族，甚至所有民族的 命運。

西元前 44 年的凱撒遇刺事件，當布魯圖和卡西烏將匕首刺入凱撒的身體，改變世界命運的那一刻，有了先前與後來。 正如不幸的1453年5月29日也劃分出了一個先前與後來。 那一天，拜占庭帝國滅亡，年輕的土耳其蘇丹穆罕默德在聖索菲亞大教堂慶祝勝利。 大約一千年以前，羅馬城遭到了汪達爾人的洗劫，如今，這座象徵基督教信仰的城市──君士坦丁堡也被劫掠一空。 1815年的6月18日，拿破崙遭遇滑鐵盧的命運時刻。 還有納粹德國在1939年9月1日入侵波蘭國土的時刻，以及入侵歐洲和全世界的時刻。

每一個“宿命時刻”，都是一個個事件串聯的結果。 一連串的事件被緊密地編織在一起，經過漫長的發展，事件一個接著一個，然後突然成熟。 歷史這個「神秘作坊」不只生產武器和戰爭。 其中一些“宿命時刻”如繁星般“熠熠生輝、永不熄滅”，用藝術的光照亮“人性的脆弱”。 茨威格說：“當藝術的領域誕生一位天才的時候，他將會顛覆時代。當這樣一個歷史時刻來臨時，他的出現將會影響之後的數十年、數個世紀。”

在這本書中所提到的宿命時刻，都發生在遙遠的時空裡。 它們在數百年的黑暗中閃耀著，用數學照亮了人類的歷程。 一個不知名的謄寫人，在數千年前的一個宿命時刻，冒出了一個天才的想法——用同一個抽象符號表示相同數量的動物或東西。 伯特蘭·羅素說，兩隻山雞和兩天都是數字的例子。 印度、中國、東南亞地區和中美洲的人民，都陸續迎來那些宿命時刻：在他們的頭腦中，一個非凡的想法成形了，即用一個特殊的符號表示虛無，這個符號後來成了一個數字。 一個又一個世紀流逝，千千萬萬個人來到這世上又離去，才等到這些時刻的來臨。

在那些顛覆時代的命運時刻中扮演重要角色的人物，如畢達哥拉斯，帶有強烈的傳奇色彩。 他們埋頭鑽研不可能的問題，例如化圓為方。 他們將自己的才智傾注於探索數學的奧秘，創造了思維中的世界，並在其中找到了可以真實描述現代「宇宙工廠」的表達方式。 不必藉助幻想去解釋這些宿命時刻的誕生，因為，正如茨威格所說，在那些超凡時刻，「歷史不需要任何幫助」。

在這裡，

你們將會看到魯濱孫如何在荒島上計算時間的流逝，

你們會知道兩個世紀前的英國議會大火發生的原因，

你們將見證一個新「普羅米修斯」創造人類傑出發明的宿命時刻，

終，你們會知道什麼是數字。

他擅長將對數學的洞察力與對背景和思想史的高度敏感結合在一起，博塔茲尼的許多著作包含了應用數學中出現的重要基礎性問題，它簡潔地抓住了數學家的 生活和興趣。

 ——2015年列昂‧艾伯特‧懷特曼紀念獎頒獎詞